Question

如图，函数y=px²+qx+r（其中p，q，r为常数）的图象分别与x轴，y轴交于A，B，C三点，D为抛物线的顶点，且∠ACB=90°，OA＞OB．
（1）试确定p，q，r的符号；
（2）求证：q²-4pr＞4；
（3）D点与经过A，B，C三点的圆的位置关系如何？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由于C在y的负半轴上，因此r＜0，根据射影定理可得出OC²=OA•OB，可据此求出p的符号，然后根据对称轴在y轴左侧可得出q的符号．
（2）由于D在C点下方，因此D点的纵坐标小于C点的纵坐标，即

4pr-q2

4p

＜r，在（1）中不难得出r=-p，再根据r²=-

r

p

（即OC²=OA•OB，射影定理）即可求出所求的结论．
（3）本题只需将圆的半径的长和D点的纵坐标进行比较即可得出所求结论．

解答：（1）解：设A点坐标为（x₁，0）B点坐标为（x₂，0）
由于C点在y轴负半轴，
因此r＜0；
因为∠ACB=90°，根据射影定理有：OC²=OA•OB，
即r²=-x₁•x₂=-

r

p

，
由于r²＞0，r＜0，
因此p＞0，且r=-p．
∵OA＞OB，
因此抛物线的对称轴在y轴左侧，
因此-

q

2p

＜0，p＞0，
因此q＞0．
因此p、q均为正数，r为负数．

（2）证明：由于D点在C点下方，
因此

4pr-q2

4p

＜r…①．
由于r＜0，①式两边同乘以r，得

4pr-q2

4 r p

＞r²…②，
在（1）中得：r=-p，r²=-

r

p

=1
因此②式可写成

4pr-q2

-4

＞1，即q²-4qr＞4．

（3）解：点D在以AB为直径的圆外．
证明：设以AB为直径的圆的半径为R，
则有R=

1

2

（OA+OB）
=

1

2

（-x₁+x₂）
=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

q2-4pr p2

=

2 q2-4pr

4p

而D到x轴的距离h为

q2-4pr

4p

．
根据（2）可知：q²-4pr＞4且p＞0，
因此h＞R
所以D点在圆外．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，韦达定理的应用等知识点．