Question

12．如图，正方形ABCD的边长为15，AG=CH=12，BG=DH=9，连接GH，则线段GH的长为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2、HE=CH-CE=2、∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．

解答 解：如图，延长BG交CH于点E，

在△ABG和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD=15}\\{AG=CH=12}\\{BG=DH=9}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
AG²+BG²=AB²，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
在△ABG和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AB=BC}\\{∠2=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE=AG=12，CE=BG=9，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE-BG=12-9=3，
同理可得HE=3，
在Rt△GHE中，GH=$\sqrt{G{E}^{2}+H{E}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}=3\sqrt{2}$，
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．