Question

如图，AB是圆O的直径，AD、BC垂直于AB，AD=13，BC=16，DC=5，点P是动点，点P以1cm/s的速度由A向D运动，同时Q从C向B以2cm/s的速度运动，当一点到达时时，另一点同时停止运动．
（1）当P从A向Q运动t秒时，四边形PQCD的面积S与t的关系式．
（2）是否存在时间t，使得梯形PQCD是等腰梯形？若存在求出时间t，不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点D作DE⊥BC于E，则四边形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圆的直径AB，要求四边形PQCD的面积，只需用t表达出CQ和PD．
（2）当四边形PQCD为等腰梯形时，CQ'-P'D=2CE，即2t-（13-t）=6，即可求出t的值．

解答：解：（1）过点D作DE⊥BC于E，

∵AB⊥BC，∴四边形ADEB为矩形，
∴BE=AD=13，EC=3．
又∵CD=5，
∴DE=

DC2-CE2

=4cm，
当P、Q运动t秒时，AP=t，CQ=2t，PD=AD-AP=（13-t），
则S=

1

2

（13-t+2t）×4，即y=2t+26（0≤t≤8）；

（2）当四边形PQCD为等腰梯形时，过P作PF⊥BC于F，如图：
，
则有Q'F=CE=3．
即CQ'-P'D=Q'F+CE，即2t-（13-t）=6，
解得：t=

19

3

．
即当t=

19

3

时，梯形PQCD是等腰梯形．

点评：本题考查了圆的综合题及等腰梯形的性质，解答本题的关键是用含t的式子表示出各线段的长度，另外要求我们熟练掌握等腰梯形的性质，难度较大．