Question

如图，在平面直角坐标系内，以y轴为对称轴的抛物线经过直y=-

3

3

x+2与y轴的交点A和点M（-

3

2

，0）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；
（2）将（1）中所求抛物线沿x轴向右平移．①在题目所给的图中画出沿x轴平移后经过原点的抛物线大致图象；②设沿x轴向右平移后经过原点的抛物线对称轴与直线AB相交于C点．判断以O为圆心，OC为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由；
（3）P点是沿x轴向右平移后经过原点的抛物线对称轴上的点，求P点的坐标，使得以O，A，C，P四点为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

分析：（1）先根据直线的解析式求出抛物线顶点A的坐标，然后根据M的坐标求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线可设出平移后抛物线的解析式，然后将原点坐标代入即可求出平移后函数的解析式．进而可求出向右平移后抛物线对称轴与直线AB的交点．然后证OC是否与AB垂直即可．
（3）存在要分两种情况进行讨论：
①以OA、AC为边，那么将C点向下平移OA个单位即可得出P点的坐标．
②以OA为边，AC为对角线，将C点坐标向上平移OA个单位即可得出P点坐标．

解答：解：（1）易知：A（0，2），
因此可设抛物线的解析式为y=ax²+2，已知抛物线过M点，
则有：a×（-

3

2

）²+2=0，解得a=-

8

3

；
∴抛物线的解析式为y=-

8

3

x²+2．

（2）设向右平移h（h＞0）个单位，则抛物线的解析式为y=-

8

3

（x-h）²+2，
已知抛物线过原点则有：0=-

8

3

×h²+2，
解得h=

3

2

；
∴向右平移后抛物线的解析式为y=-

8

3

（x-

3

2

）²+2；
∴其对称轴为x=

3

2

易知C点坐标为（

3

2

，

3

2

），
∴OC=

3

在三角形OAC，OC=

3

，OA=2，AC=1，
∴OA²=OC²+AC²，
∴OC⊥AB，
∴以O为圆心，OC为半径的圆与直线AB相切．

（3）P（

3

2

，-

1

2

）或（

3

2

，

7

2

）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数图象的平移、直线与圆的位置关系、平行四边形的判定等知识点．综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．