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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．
    分析：（1）首先过点C作CE⊥OA于E，过点B作BF⊥OA于F，易得四边形CEFB是矩形，△OCE与△ABF是等腰直角三角形，继而可求得OA，CE的长，即可求得梯形OABC的面积；
    （2）由直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线CP的解析式；
    （3）分别从点P在OA上，在AB上，在BC上去分析求解，即可求得答案．
    解答：解：（1）过点C作CE⊥OA于E，过点B作BF⊥OA于F，
    ∵CB∥OA，
    ∴∠CEF=∠BFE=∠ECB=90°，
    ∴四边形CEFB是矩形，
    ∴EF=BC=6，BF=CE，
    ∵∠COA=45°，
    ∴CE=OE=OC•sin∠COE=4×
    		2
    2
    =2
    		2
    ，
    ∵四边形OABC是等腰梯形，
    ∴∠BAO=∠COA=45°，
    同理可得：BF=AF=2
    		2
    ，
    ∴OA=OE+EF+AF=6+4
    		2
    ，
    ∴S梯形OABC=
    1
    2
    （BC+OA）•CE=
    1
    2
    ×（6+6+4
    		2
    ）×2
    		2
    =12
    		2
    +8；

    （2）∵直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分，
    ∴S△OPC=
    1
    2
    S梯形OABC=6
    		2
    +4，
    ∵S△OPC=
    1
    2
    OP•CE，
    ∴
    1
    2
    ×OP×2
    		2
    =6
    		2
    +4，
    ∴OP=6+2
    		2
    ，
    ∴点P（6+2
    		2
    ，0），
    ∵点C（2
    		2
    ，2
    		2
    ），
    设直线CP的解析式为：y=kx+b，
    则
    (6+2
    		2
    )k+b=0
    2
    		2
    k+b=2
    		2
    ，
    解得：
    k=-
    		2
    3
    b=2
    		2
    +
    4
    3
    ，
    ∴直线CP的解析式为：y=-
    		2
    3
    x+2
    		2
    +
    4
    3
    ；

    （3）①当P在OA上时，
    若OP=OC时，OP=4，即点P的坐标为（4，0）；
    若OC=CP时，则OE=PE=2
    		2
    ，
    即OP=4
    		2
    ，点P的坐标为（4
    		2
    ，0）；
    若CP=OP时，
    ∵∠COA=45°，
    ∴∠PCO=∠COA=45°，
    ∴∠OPC=90°，
    ∴OP=OC•cos∠COA=2
    		2
    ，
    ∴点P的坐标为（2
    		2
    ，0）；
    ②当P在AB上时，OP＞OB，PC＜AC，
    ∵OB=AC，
    ∴OP＞PC，
    ∵PC＞BC＞OC，
    ∴OP＞PC＞OC，
    ∴此时不存在点P使得△OCP是等腰三角形；
    ③当点P在CB上时，
    若CP=OC，则点P的坐标为（2
    		2
    +4，2
    		2
    ）．
    ∴点P的坐标为：（4，0），（4
    		2
    ，0），（2
    		2
    ，0），（2
    		2
    +4，2
    		2
    ）．
    点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、等腰梯形的性质、等腰直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
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    ．

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    5
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    ．

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    k
    x
    的解析式为（　　）

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