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    研究发现，二次函数y＝ax2(a≠0)图象上任何一点到定点(0，)和到定直线的距离相等．我们把定点(0，)叫做抛物线y＝ax2的焦点，定直线叫做抛物线u＝ax2的准线．

    (1)写出函数图象的焦点坐标和准线方程；

    (2)等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数图象上，O为坐标原点，

    求等边三角形的边长；

    (3)M为抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，P(1，3)

    为定点，求MP＋MF的最小值．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)焦点坐标为(0，1)，　1分

    　　准线方程是y＝－1；　2分

    　　(2)设等边ΔOAB的边长为x，则AD＝，OD＝．

    　　故A点的坐标为(，)．　3分

    　　把A点坐标代入函数，得

    　　，

    　　解得x＝0(舍去)，或．　4分

    　　∴等边三角形的边长为．　5分

    　　(3)如图，过M作准线y＝－1的垂线，垂足为N，则MN＝MF．　6分

    　　过P作准线y＝－1的垂线PQ，垂足为Q，当M运动到PQ与抛物线交点位置时，MP＋MF最小，最小值为PQ＝4．　8分


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax2+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少
    1
    a
    ，纵坐标增加
    1
    a
    ，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加
    1
    a
    ，纵坐标增加
    1
    a
    ，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上．
    （1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；
    （2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；
    （3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般-一特殊-一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2-2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：
    （0，3），（2，3）
    （0，3），（2，3）
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下面的材料：
    小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x2-6x+7的最大值．他画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．
    他的解答过程如下：
    ∵二次函数y=x2-6x+7的对称轴为直线x=3，
    ∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等．
    ∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2；
    若m≥5，则x=m时，y的最大值为m2-6m+7．
    请你参考小明的思路，解答下列问题：
    （1）当-2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为
    49
    49
    ；
    （2）若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x+1的最大值；
    （3）若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为
    1或-5
    1或-5
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    研究发现，二次函数y=ax2（a≠0）图象上任何一点到定点（0，数学公式）和到定直线数学公式的距离相等．我们把定点（0，数学公式）叫做抛物线y=ax2的焦点，定直线数学公式叫做抛物线y=ax2的准线．
    （1）写出函数数学公式图象的焦点坐标和准线方程；
    （2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数数学公式图象上，O为坐标原点，求等边三角形的边长；
    （3）M为抛物线数学公式上的一个动点，F为抛物线数学公式的焦点，P（1，3）为定点，求MP+MF的最小值．

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