Question

10．如图所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．
（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，则四边形APQC的面积是15cm²．
（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S_△PBQ=8cm²．
（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后，以 P、Q、B三点为顶点的△与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，那么AP=3cm，BQ=6cm，则BP=3cm．根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积，计算即可求解；
（2）设经过x秒钟，S_△PBQ=8cm²，根据三角形的面积公式得出方程$\frac{1}{2}$×（6-x）×2x=8，求出即可；
（3）设经过y秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似得到第一种情况$\frac{AB}{PB}$=$\frac{BC}{BQ}$和第二种情况$\frac{AB}{BQ}$=$\frac{BC}{PB}$，代入求出即可．

解答 解：（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，那么AP=3cm，BQ=6cm，则BP=3cm．
四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积
=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×6×3
=24-9
=15（cm²）．
故答案为15cm²；

（2）设经过x秒钟，S_△PBQ=8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴$\frac{1}{2}$BP×BQ=8，
∴$\frac{1}{2}$×（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4，
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，S_△PBQ=8cm²；

（3）设经过y秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似：
①若△PBQ～△ABC，则有$\frac{AB}{PB}$=$\frac{BC}{BQ}$，即$\frac{6}{6-y}$=$\frac{8}{2y}$，
解得：y=$\frac{12}{5}$；
②若△QBP～△ABC，则有$\frac{AB}{BQ}$=$\frac{BC}{PB}$，即$\frac{6}{2y}$=$\frac{8}{6-y}$，
解得：y=$\frac{18}{11}$．
答：经过$\frac{12}{5}$或$\frac{18}{11}$秒后，以 P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似．

点评 本题主要考查了一元二次方程的应用，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．