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在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过原点O, 点B(-2,n)在这条抛物线上.

(1)求抛物线的解析式;
(2)将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l, 若直线l经过B点,求n、b的值;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的对称轴与x轴交于点C,直线l与y轴交于点D,且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点,且PB=PE,求P点的坐标.
(1);(2)3,1;(3)()或().

试题分析:(1)根据拋物线经过原点即可求得m的值,再结合二次项系数不为0即可得到结果;
(2)由点B(-2,n)在拋物线上可求得n的值,即得B点的坐标,根据平移的规律可得直线l的解析式为,由直线l经过B点即可求得结果;
(3)拋物线的对称轴为直线x=2,则对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0),直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D(0,-1)、E(2,-5).过点B作BG⊥直线x=2于G,与y轴交于F.则BG=4.在Rt△BGC中,根据勾股定理可求得CB的长,过点E作EH⊥y轴于H.则点H的坐标为 (0,-5).证得△DFB≌△DHE,即可得到点P在直线CD上,即有符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD的解析式为y="kx+a." 将D(0,-1)、C(2,0)代入即可求得直线CD的解析式,从而求得结果.
(1)∵拋物线经过原点,
∴m2-6m+8=0.解得m1=2,m2=4.
由题意知m¹4,
∴m=2
∴拋物线的解析式为
(2)∵点B(-2,n)在拋物线上,
∴n=3.
∴B点的坐标为(–2,3) .
∵直线l的解析式为,直线l经过B点,


(3)∵拋物线的对称轴为直线x=2,直线l的解析式为y=-2x-1,
∴拋物线的对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0),
直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D(0,-1)、E(2,-5).
过点B作BG⊥直线x=2于G,与y轴交于F.

则BG=4.    
在Rt△BGC中,.
∵CE=5,
∴CB=CE. 
过点E作EH⊥y轴于H.
则点H的坐标为 (0,-5).
∵点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1),
∴FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°.
∴△DFB≌△DHE .
∴DB="DE."
∵PB=PE,
∴点P在直线CD上.
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD的解析式为y="kx+a."
将D(0,-1)、C(2,0)代入,得 解得
∴直线CD的解析式为.
设点P的坐标为(x,),
=.
解得 .
.
∴点P的坐标为()或().
点评:此类问题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.
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