Question

11．（1）如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，E、D是AB、AC上的点，且BE=CD，∠BEC+∠BDC=180°，求证：∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A．
（2）如图2，若将（1）中等腰△ABC改为非等腰△ABC（即AB≠AC），其余条件不变，试问∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先判断出，△BCD≌△CBE，得出∠1=∠2，∠BDC=∠CEB，再用同角的余角相等即可得出结论；
（2）先构造出，△BEM≌△CDN，得出BM=CN，进而判断出Rt△BCM≌Rt△CBN，最后用三角形和四边形的内角和即可得出结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BCD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BE}\\{∠ACB=∠ABC}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△CBE，
∴∠1=∠2，∠BDC=∠CEB，
∵∠BEC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
∴∠1+∠BCD=90°，
∵∠A+2∠BCD=180°，
∴$\frac{1}{2}$∠A+∠BCD=90°，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠A，
即：∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A是仍然成立，
理由：如图，
过点B作BM⊥CE，过点C作CN⊥BD，
∵∠BEC+∠BDC=180°，∠BEC+∠BEM=180°，
∴∠BEM=∠CDN，
在△BEM和△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BME=∠CND=90°}\\{∠BEM=∠CDN}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△CDN，
∴BM=CN，
在Rt△BCM和Rt△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCM≌Rt△CBN，
∴∠1=∠2，
在△BOC中，2∠1+∠BOC=180°，
在四边形AEOD中，∵∠AEO+∠ADO=180°，
∴∠A+∠DOE=180°，
∵∠DOE=∠BOC，
∴∠2∠1=∠A，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠A，
即：∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 此题是等腰三角形的性质，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，四边形的内角和，同角（或等角）的余角（或补角）相等，解本题的关键是得出∠1=∠2，构造出△BEM≌△CDN是解本题的难点．