Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=10，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，若点P是直径AB上的一动点，则PD+PC的最小值为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：作出点C关于AB的对称点C′，连接C′D，根据轴对称确定最短路线问题，C′D与AB的交点即为所求的点P，连接CP，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠B=60°，然后求出AB∥CD，再求出∠BCD=120°，再求出∠BCC′=30°，然后求出∠C′CD=90°，从而判断出C′D为圆的直径．

解答：解：如图，作出点C关于AB的对称点C′，连接C′D，
则C′D与AB的交点即为所求的点P，连接CP，C′D=PC+PD，
∵AB是⊙O的直径，BC=CD=DA，
∴∠B=

1

2

×120°=60°，
∵AD=BC，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=120°，
∴∠BCC′=

1

2

×60°=30°，
∴∠C′CD=120°-30°=90°，
∴C′D为圆的直径，
∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴PD+PC的最小值为10．
故答案为：10．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，垂径定理，以及弧、圆心角、弦之间的关系，熟记各性质并求出C′D是圆的直径是解题的关键．