Question

如图，抛物线y=x²+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，与y轴交于点C（0，c），且满足x₁²+x₂²+x₁x₂=7．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

(1)抛物线的解析式是y=x²﹣2x﹣3；
(2)能, 点P的坐标是（，﹣），（，﹣）

试题分析：
（1）利用根与系数的关系，等式x₁²+x₂²+x_1x2=7．由一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=﹣m，x₁x₂=m﹣1．代入等式，即可求得m的值，从而求得解析式．
（2）根据线段的垂直平分线上的点到两端点的距离相等，求得P点的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得．
试题解析：
解（1）依题意：x₁+x₂=﹣m，x₁x₂=m﹣1，
∵x₁+x₂+x₁x₂=7，
∴（x₁+x₂)²﹣x₁x₂=7，
∴（﹣m）²﹣（m﹣1）=7，
即m²﹣m﹣6=0，
解得m₁=﹣2，m₂=3，
∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合题意
∴m=﹣2
抛物线的解析式是y=x²﹣2x﹣3；
（2）能
如图，设p是抛物线上的一点，连接PO，PC，过点P作y轴的垂线，垂足为D．

若∠POC=∠PCO
则PD应是线段OC的垂直平分线
∵C的坐标为（0，﹣3）
∴D的坐标为（0，﹣）
∴P的纵坐标应是﹣
令x²﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=
因此所求点P的坐标是（，﹣），（，﹣）