Question

已知△ABC内接于⊙O，D是BC或其延长线上一点，AE是△ABC外接圆的一条弦，若∠BAE=∠CAD．求证：AD•AE为定值．

Answer 1

证明：如图（1），当点D是BC上任意一点且∠BAE=∠CAD时，连接BE，
则∠E=∠C，
∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC．
∴，
即AD•AE=AB•AC为定值．
如图（2），当点D在BC的延长线上时，
∠BAE=∠CAD．此时，∠ACD=∠AEB．
∴△AEB∽△ACD，
∴
即AD•AE=AB•AC为定值．
综上所述，当点D在BC边上或其延长线上时，
只要∠CAD=∠BAE，总有AD•AE为定值．
分析：由于题干中D是BC或其延长线上一点，所以应分两种情况进行讨论；
（1）连BE，可得△ABE∽△ADC，进而可得结论；
（2）当其在BC的延长线上时，同样亦可得△AEB∽△ACD，所以当点D在BC边上或其延长线上时，总有AD•AE为定值．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，可先探求定值，当AD⊥BC，AE为圆的直径时，满足∠BAE=∠CAD这一条件，不难发现△ACD∽△AEB，所以AD•AE=AB•AC，因为已知AB，AC均为定值．再就一般情况分点D在BC上，点D在BC的延长线上两种情况分别证明．