Question

9．如图，抛物线l₁：y=$\frac{3}{16}$x²平移后过点A（8，0）和原点得到抛物线l₂，l₂ 的顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线l₁相交于点D，直线AB交y轴于点E．
（1）求l₂的解析式并和阴影部分的面积S_阴影；
（2）在l₂的对称轴上是否存在一个点F，使得△OEF的周长最小？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是抛物线l₂上一个动点，过P作PM⊥x轴垂足为M，是否存在点P，使得以O、P、M为顶点的三角形与△OAE相似？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平移的性质设出二次函数的解析式，再将点A（8，0）代入即可得解，再根据平移，即可求出阴影部分的面积；
（2）根据两点之间线段最短，以及点O与点A关于l₂的对称轴对称，即可求出；
（3）根据三角形相似的条件，进行分类讨论，即可求出本题的答案．

解答 解：（1）设平移后抛物线的解析式y=-$\frac{3}{16}$x²+bx，
将点A（8，0）代入，
得：0=$-\frac{3}{16}×64+8b=0$，
解得：b=$\frac{3}{2}$，∴y=$-\frac{3}{16}{x}^{2}+\frac{3}{2}x$，
顶点B（4，3），
S_阴影=OC×CB=4×3=12；
（2）存在，
∵点O与点A关于l₂的对称轴对称，
∴连接AE，OF，OF+EF=AE，
此时，点F与点B重合，
∴F（4，3）；
（3）存在点P，使得以O、P、M为顶点的三角形与△OAE相似，
设点P（t，$-\frac{3}{16}{t}^{2}+\frac{3}{2}t$）  （t≠0），则：OM=|t|，PM=|$-\frac{3}{16}{t}^{2}+\frac{3}{2}t$|，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
把点A（8，0）和B（4，3）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴y=$-\frac{3}{4}x+6$，当x=0时，y=6，
∴E（0，6），
①$\frac{OM}{PM}$=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{3}{4}$时，$\frac{|t|}{|-\frac{3}{16}{t}^{2}+\frac{3}{2}t|}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{t}{-\frac{3}{16}{t}^{2}+\frac{3}{2}t}$=$\frac{3}{4}$或$-\frac{t}{-\frac{3}{16}{t}^{2}+\frac{3}{2}t}$=$\frac{3}{4}$，
解得：t=$\frac{8}{9}$，或t=$\frac{136}{9}$∴P（$\frac{8}{9}$，$-\frac{32}{27}$）或P（$\frac{136}{9}$，$-\frac{544}{27}$），
②$\frac{OM}{PM}$=$\frac{OA}{OE}$=$\frac{4}{3}$时，$\frac{|t|}{|-\frac{3}{16}{t}^{2}+\frac{3}{2}t|}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{t}{-\frac{3}{16}{t}^{2}+\frac{3}{2}t}$=$\frac{4}{3}$或$-\frac{t}{-\frac{3}{16}{t}^{2}+\frac{3}{2}t}$=$\frac{4}{3}$，
解得：t=4或t=12，∴P（4，3）或P（12，-9），
∴P₁（4，3），P₂（12，-9），P₃（$\frac{8}{9}$，$-\frac{32}{27}$），P₄（$\frac{136}{9}$，$-\frac{544}{27}$）
．

点评 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，以及利用对称求最值的问题，还考查了判定相似三角形的条件以及分类讨论的思想，是一道综合性很强的题目，要注意总结．