Question

13．如图，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，顶点B，C分别在x，y轴的正半轴上，顶点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转90°得到矩形AB′O′C′，若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，则$\frac{OB}{OC}$的值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 设A（m，n），则OB=m，OC=n，根据旋转的性质得到O′C′=n，B′O′=m，于是得到O′（m+n，n-m），于是得到方程（m+n）（n-m）=mn，求得$\frac{m}{n}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，（负值舍去），即可得到结论．

解答 解：设A（m，n），
则OB=m，OC=n，
∵矩形ABOC绕点A按逆时针反向旋转90°得到矩形AB′O′C′，
∴O′C′=n，B′O′=m，
∴O′（m+n，n-m），
∵A，O′在此反比例函数图象上，
∴（m+n）（n-m）=mn，
∴m²+mn-n²=0，
∴m=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$n，
∴$\frac{m}{n}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，（负值舍去），
∴$\frac{OB}{OC}$的值是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转，反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．