Question

2．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．
（1）求证：AD⊥BF；
（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．

Answer 1

分析 （1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF；
（2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG=$\frac{1}{2}$CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°-∠C=150°．

解答 （1）证明：如图，连结DB、DF．
∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．
在△BAD与△FAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAD=∠FAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△FAD，
∴DB=DF，
∴D在线段BF的垂直平分线上，
∵AB=AF，
∴A在线段BF的垂直平分线上，
∴AD是线段BF的垂直平分线，
∴AD⊥BF；

（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，
∴DG=BH=$\frac{1}{2}$BF．
∵BF=BC，BC=CD，
∴DG=$\frac{1}{2}$CD．
在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=$\frac{1}{2}$CD，
∴∠C=30°，
∵BC∥AD，
∴∠ADC=180°-∠C=150°．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，平行线的性质等知识，证明出AD是线段BF的垂直平分线是解题的关键．