Question

如图，在△ABC中，AC=BC＞AB，点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为________个．

Answer 1

6
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出AB的垂直平分线，首先△ABC的外心满足，再根据圆的半径相等，以点C为圆心，以AC长为半径画圆，AB的垂直平分线相交于两点，分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，与AB的垂直平分线相交于一点，再分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，与⊙C相交于两点，即可得解．
解答：解：如图所示，作AB的垂直平分线，①△ABC的外心P₁为满足条件的一个点，
②以点C为圆心，以AC长为半径画圆，P₂、P₃为满足条件的点，
③分别以点A、B为圆心，以AC长为半径画圆，P₄为满足条件的点，
④分别以点A、B为圆心，以AB长为半径画圆，P₅、P₆为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点P的个数为6．
故答案为：6．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观．