Question

18．如图，过?ABCD的顶点A，B，C，D作一组平行线，分别交任意一条直线于点A′，B′，C′，D′．求证：A′D′=B′C′．

Answer 1

分析 作A′M∥AB交BB′于M，作D′N∥CD交CC′于N，则四边形AA′MB′、四边形DD′NC是平行四边形，得出对边相等A′M=AB，D′N=CD，由平行线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，由AAS证明△A′B′M≌△D′C′N，得出对边相等A′B′=D′C′，即可得出结论．

解答 证明：作A′M∥AB交BB′于M，作D′N∥CD交CC′于N，如图所示：
则四边形AA′MB′、四边形DD′NC是平行四边形，
∴A′M=AB，D′N=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴A′M=D′N，A′M∥D′N，
∴∠1=∠2，
∵DD′∥CC′，
∴∠3=∠4，
在△A′B′M和△D′C′N中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{∠3=∠4}&{\;}\\{A′M=D′N}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△A′B′M≌△D′C′N（AAS），
∴A′B′=D′C′，
∴A′D′=B′C′．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．