Question

8．如图，∠MON=30°，点A₁、A₂、A₃…在射线ON上，点B₁、B₂、B₃…在射线OM上，△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a₁，第2个等边三角形的长记为a₂，以此类推，若OA₁=3，则a₂=6，a₂₀₁₅=3×2²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，以及a₂=2a₁=6，得出a₃=4a₁，a₄=8a₁，a₅=16a₁…进而得出答案．

解答 解：∵△A₁B₁A₂是等边三角形，
∴A₁B₁=A₂B₁，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA₁=A₁B₁=3，
∴A₂B₁=3，
∵△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，B₁A₂∥B₂A₃，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a₂=2a₁=6，
a₃=4a₁，
a₄=8a₁，
a₅=16a₁，
以此类推：a₂₀₁₅=2²⁰¹⁴a₁=3×2²⁰¹⁴
故答案是：6；3×2²⁰¹⁴．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a₂=2a₁=6，a₃=4a₁，a₄=8a₁，a₅=16a₁…进而发现规律是解题关键．