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    4．如图，矩形AOCB在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，A在y轴上，直线AC的关系式为y=$\frac{3}{4}$x+9，D是OA上的一点，若将矩形AOCB沿CD折叠，点A恰好落在x轴上的A′处．
    （1）求AC的长；
    （2）求直线A′D的关系式；
    （3）设一动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线CD方向运动，运动时间为t s．
    ①当t为何值时，BC=BP？
    ②在运动过程中，存在以P为圆心的⊙P既与AC相切又与OA相交，请求出t的取值范围．

    分析 （1）首先求得A和C的坐标，然后利用勾股定理即可求解；
    （2）根据对称的性质可得CA'=CA，即可求得A'的坐标，设D（O，n），在RT△A′OD中，利用勾股定理即可列方程求得n的值，然后利用待定系数法即可求解；
    （3）①作BE⊥AC于点E，当BC=BP时，t=2CE，根据三角形的面积公式即可求得CE的长，从而求解；
    ②CD是∠ACA'的角平分线，则P到AC的距离等于到x轴的距离，以P为圆心的⊙P既与AC相切又与OA相交，则P的纵坐标的绝对值大于横坐标的绝对值，据此即可列不等式求解．

    解答 解：（1）由直线AC可知：A（0，9），C（-12，0），
    ∴AC=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15；
    （2）∵A′是A点关于直线CD的对称点，
    ∴AC=A′C，
    ∴A′C=15，
    ∴OA′=15-12=3，
    设D（O，n），
    ∴OD=n，A′D=AD=9-n，
    在RT△A′OD中，A′D2=OA′2+OD2，
    即（9-n）2=42+n2，解得n=$\frac{65}{18}$，
    ∴D（0，$\frac{65}{18}$）
    ∵A′（4，0），
    设直线A'D的解析式为y=kx+b，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{65}{18}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{65}{72}}\\{b=\frac{65}{18}}\end{array}\right.$，
    ∴直线A′D的关系式是y=-$\frac{65}{72}$x+$\frac{65}{18}$；
    （3）①作BE⊥AC于点E．
    ∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE=$\frac{1}{2}$AB•BC，
    ∴BE=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{9×12}{15}$=$\frac{36}{5}$，
    则t=2×$\frac{36}{5}$=$\frac{72}{5}$；
    ②设CD的解析式是y=kx+b，
    根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-12k+b=0}\\{b=\frac{65}{18}}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{65}{216}}\\{b=\frac{65}{18}}\end{array}\right.$，
    则直线CD的解析式是y=$\frac{65}{216}$x+$\frac{65}{18}$．
    当-12≤x＜0时，当以P为圆心的⊙P既与AC相切又与OA相交时，y＞-x，即$\frac{65}{216}x+\frac{65}{18}$＞-x，
    解得：x＞-$\frac{780}{281}$．
    则次时x的范围是：-$\frac{780}{281}$＜x＜0；
    当x≥0时，当以P为圆心的⊙P既与AC相切又与OA相交时，y＞x，则$\frac{65}{216}x+\frac{65}{18}$＞x，
    解得：x＜$\frac{780}{151}$．
    则0≤x＜$\frac{780}{151}$．
    总之，x的范围是：-$\frac{780}{281}$＜x＜$\frac{780}{151}$．

    点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及图形的折叠的性质，直线和圆的位置关系的判定，理解以P为圆心的⊙P既与AC相切又与OA相交，则P的纵坐标的绝对值大于横坐标的绝对值是关键．

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