Question

9．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（m，0），B（n，0），点A位于点B的右侧，且m、n是一元二次方程x²+2x-3=0的两个根，与y轴交于C（0，3）．点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以点P、Q、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 可先解方程，求出点A、B的坐标，然后用待定系数法求出二次函数的解析式，然后分AQ为平行四边形的边和对角线两种情况讨论，就可解决问题．

解答 解：解方程x²+2x-3=0得，
x₁=-3，x₂=1．
∴A（1，0），B（-3，0），
∵A（1，0），B（-3，0），C（0，3）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a+b+c}\\{0=9a-3b+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
①若AQ为该平行四边形的一边，
则CP=AQ，CP∥AQ（即CP∥x轴），
∴y_P=y_C=3．
∵点P在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴3=-x_P²-2x_P+3，
解得x_P=0（舍去）或x_P=-2，
∴点P的坐标为（-2，3），
∴AQ=PC=2，
∴点Q的坐标为（1+2，0）或（1-2，0），即（3，0）或（-1，0）．
②若AQ为该平行四边形的一条对角线，
则点P与点C在AQ的两侧，且到AQ的距离相等，
∴y_P=-3．
∵点P在抛物线y=-x²-2x+3上，
∴-3=-x_P²-2x_P+3，
解得x_P=-1+$\sqrt{7}$或x_P=-1-$\sqrt{7}$，
∴点P的坐标为（-1+$\sqrt{7}$，-3），（-1-$\sqrt{7}$，-3）．
根据中点坐标公式可得：
$\frac{{x}_{Q}+{x}_{A}}{2}$=$\frac{{x}_{P}+{x}_{C}}{2}$，即x_Q=x_P+x_C-x_A．
当点P的坐标为（-1+$\sqrt{7}$，-3）时，
x_Q=-1+$\sqrt{7}$+0-1=-2+$\sqrt{7}$，
∴点Q的坐标为（-2+$\sqrt{7}$，0）．
当点P的坐标为（-1-$\sqrt{7}$，-3）时，
x_Q=-1-$\sqrt{7}$+0-1=-2-$\sqrt{7}$，
∴点Q的坐标为（-2-$\sqrt{7}$，0）．
综上所述：存在以点P、Q、A、C为顶点的四边形是平行四边形，
P（-2，3），Q（3，0）或P（-2，3），Q（-1，0）或P（-1+$\sqrt{7}$，-3），Q（-2+$\sqrt{7}$，0）或P（-1-$\sqrt{7}$，-3），Q（-2-$\sqrt{7}$，0）．

点评 本题主要考查了解一元二次方程、用待定系数法求出二次函数的解析式、抛物线上点的坐标特征、平行四边形的性质、中点坐标公式等知识，需要注意的是：由于构成平行四边形的四个顶点的顺序不确定，需分情况讨论．