Question

已知圆心在原点，半径为1的⊙O，直线AB与⊙O切于点P （m，n）．且与x、y轴交于点A（a，0）、B（0，b）（a＞0，b＞0）．
（1）如图1，当m=

3

2

时，求a的值；
（2）如图2，连接OP，过P向x轴引垂线交x轴于点C，设x表示△OPC的面积，y=a+b，试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）过P作PC⊥x轴于C，在直角三角形OPA中，根据射影定理可得出OP²=OC•OA，即a=

1

m

，同理可得出b=

1

n

，据此可根据m的值求出a的值；
（2）根据（1）的结果，可用m，n替换掉y=a+b中的a和b．然后根据mn=x，m²+n²=1即可得出y与x的函数关系式．

解答：解：（1）过P作PC⊥OA于C，

∵AB是圆O的切线，因此OP⊥AB，
根据射影定理可得：OP²=OC•OA，即a=

1

m

，同理可得b=

1

n

，
因此当m=

3

2

时，a=

2 3

3

；

（2）根据题意可知：OP=1，因此m²+n²=1，
而△OCP的面积为x，即

1

2

mn=x，mn=2x，
∴y=a+b=

1

m

+

1

n

=

m+n

m•n

=

m2+n2+2mn

m•n

=

4x+1

2x

∵当PC=CO时，x最大，此时OP=1，得出PC=CO=

2

2

，
∴x=

1

2

×

2

2

×

2

2

=

1

4

，
∴0＜x≤

1

4

．

点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．