Question

已知圆心在原点，半径为1的⊙O，直线AB与⊙O切于点P （m，n）．且与x、y轴交于点A（a，0）、B（0，b）（a＞0，b＞0）．
（1）如图1，当m=时，求a的值；
（2）如图2，连接OP，过P向x轴引垂线交x轴于点C，设x表示△OPC的面积，y=a+b，试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）过P作PC⊥OA于C，

∵AB是圆O的切线，因此OP⊥AB，
根据射影定理可得：OP²=OC•OA，即a=，同理可得b=，
因此当m=时，a=；

（2）根据题意可知：OP=1，因此m²+n²=1，
而△OCP的面积为x，即mn=x，mn=2x，
∴y=a+b=+===
∵当PC=CO时，x最大，此时OP=1，得出PC=CO=，
∴x=××=，
∴0＜x≤．
分析：（1）过P作PC⊥x轴于C，在直角三角形OPA中，根据射影定理可得出OP²=OC•OA，即a=，同理可得出b=，据此可根据m的值求出a的值；
（2）根据（1）的结果，可用m，n替换掉y=a+b中的a和b．然后根据mn=x，m²+n²=1即可得出y与x的函数关系式．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．