Question

△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则四个结论：①∠BOE=60°，②AE=AD，③OE=OD，④BE+DC=BC，结论正确的有

①③④

．（多选、错选不得分）

Answer 1

分析：根三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BOE=∠OBC+∠OCB；在BC上取BF=BE，然后利用“边角边”证明△BOE和△BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BOF=∠BOE=60°，全等三角形对应边相等可得OE=OF，BE=BF，再求出∠COD=∠COF=60°，然后利用“角边角”证明△COD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等可得OD=OF，CD=CF，从而得到OE=OD，BC=BE+DC；AE=AD无法证明．

解答：解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

×120°=60°，
∴∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°，故①正确；
在BC上取BF=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBE=∠OBF，
在△BOE和△BOF中，

BE=BF ∠OBE=∠OBF BO=BO

，
∴△BOE≌△BOF（SAS），
∴∠BOF=∠BOE=60°，OE=OF，BE=BF，
∴∠COD=∠COF=60°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCD=∠OCF，
在△COD和△COF中，

∠COD=∠COF OC=OC ∠OCD=∠OCF

，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴OD=OF，CD=CF，
∴OE=OD，BC=BE+DC，故③④正确；
AE=AD无法证明，故②错误．
所以正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．