Question

13．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．

Answer 1

分析 （1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到AB²+AM²=BM²，可判定△ABM为直角三角形；
（3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立y=x，可得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式可求得m的范围．

解答 解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，
∴A（-1，0），
又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，
∴B（2，3），
∵抛物线顶点在y轴上，
∴可设抛物线解析式为y=ax²+c，
把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+c=0}\\{4a+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-1；
（2）△ABM为直角三角形．理由如：
由（1）抛物线解析式为y=x²-1可知M点坐标为（0，-1），
∴AM=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，BM=$\sqrt{{2}^{2}+[3-（-1）]^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AM²+AB²=2+18=20=BM²，
∴△ABM为直角三角形；
（3）当抛物线y=x²-1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x-m）²+2m，即y=x²-2mx+m²+2m，
联立y=x，可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+2m}\end{array}\right.$，消去y整理可得x²-（2m+1）x+m²+2m=0，
∵平移后的抛物线总有不动点，
∴方程x²-（2m+1）x+m²+2m=0总有实数根，
∴△≥0，即（2m+1）²-4（m²+2m）≥0，
解得m≤$\frac{1}{4}$，
即当m≤$\frac{1}{4}$时，平移后的抛物线总有不动点．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点．在（1）中确定出A、B两点的坐标是解题的关键，在（2）中分别求得AB、AM、BM的长是解题的关键，在（3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键．本题考查知识点较为基础，难度适中．