Question

2．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明：四边形ADCF是菱形；
（3）若AB=4，AC=5，求菱形ADCF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据AAS证明即可判定．
（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DA=DC即可．
（3）利用S_菱形ADCF=2S_△ADC=S_△ABC即可求解．

解答 （1）证明：∵AF∥BD，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD中点，
∴AE=ED，
在△BDE和△FAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠DBE}\\{∠AEF=∠BED}\\{AE=ED}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE．
（2）证明：连接CF．
∵△AFE≌△DBE，
∴AF=BD
∵∠BAC=90°，BD=CD，
∴AD=DC=DB，
∴AF∥CD，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵DA=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
（3）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC=10，
∵四边形ADCF是菱形，BD=DC，S_△ABC=2S_△ADC，
∴S_菱形ADCF=2S_△ADC=10．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，解决问题的关键是记住菱形、全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．