Question

20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．
（1）△ABC与△FEC具有怎样的对称关系？
（2）若△ABC的面积为3cm²，求四边形ABFE的面积；
（3）当∠ABC为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据中心对称的定义进行判断；
（2）先利用中心对称的性质得到CA=CF，CB=CE，则可判断四边形ABFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得S_{四边形ABFE}=4S_△ABC=12cm²；
（3）由于AB=AC，当∠ABC=60°时，可判断△ABC为等边三角形，则AC=BC，易得CA=CF=CB=CE，于是可根据矩形的判定方法判定四边形ABFE为矩形．

解答 解：（1）∵△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，
∴△ABC与△FEC关于点C中心对称；
（2）∵△ABC与△FEC关于点C中心对称，
∴CA=CF，CB=CE，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴S_{四边形ABFE}=4S_△ABC=4×3=12（cm²）；
（3）当∠ABC为60度时，四边形ABFE为矩形．理由如下：
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，
而CA=CF，CB=CE，
∴CA=CF=CB=CE，
∴四边形ABFE为矩形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了矩形的判定方法．