Question

在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x²沿y轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x=3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．
（1）求△ABC面积；
（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题意可知平移后的函数的解析式为：y=2（x-2）²+1，可据此求出其顶点A和B点的坐标，然后用待定系数法求出直线AO的解析式，即可求出C点的坐标，根据这三点的坐标即可求出△ABC的面积；
（2）由于不确定是哪组角对应相等，因此要分两种情况进行讨论：
①当∠PBA=∠CBA时，四边形PACB是平行四边形，因此PA=BC，由此可求出P点的坐标．
②当∠APB=∠BAC时，可根据关于AP，AB，BC的比例关系式，求出AP的长，进而可求出P的坐标．
综上所述即可求出符合条件的P点的坐标．

解答：解：平移后抛物线的解析式为y=2（x-2）²+1．
∴A点坐标为（2，1），
设直线OA解析式为y=kx，将A（2，1）代入
得k=

1

2

，直线OA解析式为y=

1

2

x，
将x=3代入y=

1

2

x
得y=

3

2

，
∴C点坐标为（3，

3

2

）．
将x=3代入y=2（x-2）²+1得y=3，
∴B点坐标为（3，3）．
∴S_△ABC=

3

4

．

（2）∵PA∥BC，
∴∠PAB=∠ABC
①当∠PBA=∠BAC时，PB∥AC，
∴四边形PACB是平行四边形，
∴PA=BC=

3

2

．
∴P₁（2，

5

2

）．

②当∠APB=∠BAC时，

AP

AB

=

AB

BC

，
∴AP=

AB2

CB

．
又∵AB=

(3-2)2+(3-1)2

=

5

，
∴AP=

10

3

∴P₂（2，1+

10

3

）即P₂（2，

13

3

）
综上所述满足条件的P点有（2，

5

2

），（2，

13

3

）．

点评：本题考查了二次函数图象的平移，图形面积的求法，相似三角形的判定和性质等知识点，主要考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．