Question

如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k（k＜0））
（1）问：EF与抛物线y=-

1

8

x2有几个公共点？
（2）当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求

x

y

的值．

Answer 1

分析：（1）根据判别式与坐标轴交点个数性质，分别得出即可；
（2）首先得出EF与x轴、y轴的交点为M（1，0），E（0，

1

2

），进而得出RT△EMO∽RT△A′AD，即可求出．

解答：解：（1）由

y=kx-k y=- 1 8 x2

，得x²+8kx-8k=0，
△=（8k）²+32k=32k（2k+1），
∵k＜0．
∴k＜-

1

2

时，△＞0，EF与抛物线有两个公共点，
当k=-

1

2

，△=0时，EF与抛物线有一个公共点，
当k＞-

1

2

，△＜0时，EF与抛物线没有公共点，

（2）EF与抛物线只有一个公共点时，k=-

1

2

，EF的表达式为y=-

1

2

x+

1

2

，
EF与x轴、y轴的交点为M（1，0），E（0，

1

2

），
∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′，
∴RT△EMO∽RT△A′AD（1分）
∴

OE

OM

=

DA′

DA

，((1分))即

1 2

1

=

x

2y

，
∴

x

y

=1（1分）．

点评：此题主要考查了判别式与图象与x轴交点个数的规律以及三角形相似的判定方法，三角形相似经常与二次函数相结合同学们应有意识地运用．