Question

14．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB=60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为2cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明∠P=180°-∠AOB，根据∠AOB=2∠ACB求出∠AOB即可解决问题．
（2）连接OP，如图，根据切线的性质和切线长定理得到∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=30°，则根据四边形内角和得到∠AOB=180°-∠APB=120°，再在Rt△PAO中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AP=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，则S_△PAO=2$\sqrt{3}$，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S_{四边形AOBP}-S_扇形AOB进行计算．

解答 解：（1）连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∴∠P=180°-120°=60°，

（2）如图，连接OP，
∵PA，PB是⊙O的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，OP平分∠APB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠AOB=180°-∠APB=180°-60°=120°，
在Rt△PAO中，∵OA=2，∠APO=30°，
∴AP=$\sqrt{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
∴S_△PAO=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=S_{四边形AOBP}-S_扇形AOB=2×2$\sqrt{3}$-$\frac{120•π•{2}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．会利用面积的和差计算不规则图形的面积．