Question

如图，正三角形的边长为．

（1）如图①，正方形的顶点在边上，顶点在边上．在正三角形及其内部，以为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；

（2）求（1）中作出的正方形的边长；

（3）如图②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在边上，点分别在边上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

Answer 1

解：（1）如图①，正方形即为所求．

       （2）设正方形的边长为．

        ∵△为正三角形，

        ∴．

        ∴．

        ∴，即．（没有分母有理化也对，也正确）

       （3）如图②，连接，则．

        设正方形、正方形的边长分别为，

        它们的面积和为，则，．

        ∴．

        ∴．

        延长交于点，则．

        在中，．

        ∵，即．

        ∴ⅰ）当时，即时，最小．

        ∴．

        ⅱ）当最大时，最大．

        即当最大且最小时，最大．

        ∵，由（2）知，．

        ∴．

∴．