Question

9．在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP=MP；②AN：AB=AM：AC；③BN=2AN；④当∠ABC=60°时，MN∥BC，一定正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用直角三角形斜边上的中线性质对①进行判定；通过证明Rt△AMC∽Rt△ANB得到AN：AM=AB：AC，然后利用比例的性质可对②进行判定；在Rt△ABN中，利用60°的正切值可对③进行判定；当∠ABC=60°时可判断△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质得到M、N分别为AB、AC的中点，则根据三角形中位线的性质可对④进行判断．

解答 解：∵BN、CM为高，P为BC的中点，
在Rt△BCM中，PM=$\frac{1}{2}$BC，
在Rt△BCN中，PN=$\frac{1}{2}$BC，
∴PM=PN，所以①正确；
∵∠BAN=∠CMA，
∴Rt△AMC∽Rt△ANB，
∴AN：AM=AB：AC，
∴AN：AB=AM：AC，所以②正确；
在Rt△ABN中，∵tan∠A=$\frac{BN}{AN}$=tan60°，
∴BN=$\sqrt{3}$AN，所以③错误；
当∠ABC=60°，
而∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴M、N分别为AB、AC的中点，
∴MN∥BC，所以④正确．
故选C．

点评 本题考查了相似三角形的判定于性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时利用相似比表示线段之间的关系．也考查了等边三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线性质．