Question

①已知

1

a

-|a|=2，求

1

a

+|a|的值；
②设x₁，x₂是方程x²+x-4=0的两个根，求x₁³-4x₂²+10的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,完全平方公式

专题：计算题

分析：①由

1

a

=|a|+2得到a＞0，根据完全平方公式得到原式=（

1

a

-|a|）²+4•

1

a

•|a|=原式=（

1

a

-|a|）²+4•

1

a

•a，然后利用整体代入的方法计算；
②一元二次方程的解的定义得到x₁²+x₁-4=0，即x₁²=-x₁+4，x₂²+x₂-4=0，即x₂²=-x₂+4，易得x₁³=5x₁+4，则x₁³-4x₂²+10=4（x₁+x₂）+x₁-2，然后利用根与系数的关系得到x₁+x₂=-1，则x₁³-4x₂²+10=x₁-6，最后解原方程，把解代入计算即可．

解答：解：①∵

1

a

-|a|=2，
∴

1

a

=|a|+2，
∴a＞0，
原式=（

1

a

-|a|）²+4•

1

a

•|a|
=2²+4
=6；

②∵x₁，x₂是方程x²+x-4=0的根，
∴x₁²+x₁-4=0，即x₁²=-x₁+4，x₂²+x₂-4=0，即x₂²=-x₂+4，
∴x₁³=-x₁²+4x₁=-（-x₁+4）+4x₁=5x₁+4，
∴x₁³-4x₂²+10=5x₁+4-4（-x₂+4）+10
=4（x₁+x₂）+x₁-2，
∵x₁+x₂=-1，
∴x₁³-4x₂²+10=-4+x₁-2
=x₁-6，
而x=

-1± 17

2

，
∴x₁³-4x₂²+10的值=

-1± 17

2

-6=

-13± 17

2

．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了完全平方公式和一元二次方程的解的定义．