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    如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.

    1.连结，证明：；

     

     

    2.如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

     

     

    3.如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线.

     

     

     

    1.

    ∴∠DF=∠FE.

    ∴.

    2.

    解：如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.

     

     

    ∵点E是半圆圆弧的中点，

    ∴AE=CE=3

    ∵AC为直径

    ∴∠AEC=90°，

    ∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，

    ∵AQ是半圆的切线，

    ∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，

     

    3.

    （3） 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，

    连接DR、AD、DM.

     

     

    ∵F是BC边的中点，∴.

    ∴BR=CS，

    由（2）已证∠CAQ=90°,AC=AQ,

    ∴∠2+∠3=90°

    ∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，

    ∴∠1=∠3,

    同理：∠2=∠4,

    ∴，

    ∴AM=CS，

    ∴AM=BR，

    同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,

    ∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90°

    ∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，

    且∠DBR+∠DAR=180°,

    ∴∠5=∠8, ∠6=∠7,

    ∵∠DAM+∠DAR=180°,

    ∴∠DBR=∠DAM

    ∴，

    ∴∠5=∠9,

    ∴∠RDM=90°，

    ∴∠5+∠7=90°，

    ∴∠6+∠8=90°，

    ∴∠PAB=90°，

    ∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，

    即  .

    ∵ ,

    ∴ 过点Q有两条不同的直线和同时与AF垂直.

    这与在平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾,因此假设错误.

    所以PA是是半圆的切线.

     解析:略

     

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    （1）连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：△DO1F≌△FO2E；
    （2）如图二，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；
    （3）如图三，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．证明：PA是半圆O1的切线．
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    （2）如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

    （3）如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线

     

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    【小题1】连结，证明：；

    【小题2】如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

    【小题3】如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线.

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