Question

如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O₁和半圆O₂，其中O₁和O₂分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．
（1）连接O₁F，O₁D，DF，O₂F，O₂E，EF，证明：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）如图二，过点A分别作半圆O₁和半圆O₂的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；
（3）如图三，过点A作半圆O₂的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．证明：PA是半圆O₁的切线．

Answer 1

分析：（1）利用中位线定理可得∠BO₁F=∠CO₂F，进而可得∠DO₁F=∠FO₂E，易得O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，可得：△DO₁F≌△FO₂E；
（2）易得△ACE和△ACQ，△ABD，△APD均为等腰直角三角形，那么可得AB，AC的长，利用勾股定理可得BC的长，利用顶点A及AB边构造和△PAQ全等的三角形AGB，利用勾股定理求得BG的长即为PQ的长；
（3）需证∠6+∠8=90°，那么证明∠5+∠7=90°即可；利用四点共圆的性质可得△DBR≌△DAM，进而可得∠5=∠9，即可求证．

解答：（1）证明：如图一，

∵O₁，O₂，F分别是AB，AC，BC边的中点，
∴O₁F∥AC且O₁F=AO₂，O₂F∥AB且O₂F=AO₁，
∴∠BO₁F=∠BAC，∠CO₂F=∠BAC，
∴∠BO₁F=∠CO₂F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
∴O₁F=AO₂=O₂E，O₂F=AO₁=O₁D，
∠BO₁D=90°，∠CO₂E=90°，
∴∠BO₁D=∠CO₂E．
∴∠DO₁F=∠FO₂E．
∴△DO₁F≌△FO₂E；

（2）解：如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE．

∵点E是半圆O₂圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC=

AE2+CE2

=3

2

，
∵AQ是半圆O₂的切线，
∴CA⊥AQ，
∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°，
∴AQ=AC=AG=3

2

，
同理：∠BAP=90°，AB=AP=5

2

，
∴CG=6

2

，∠GAB=∠QAP，
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG，
∵∠ACB=90°，
∴BC=

AB2-AC2

=4

2

，
∴BG=

GC2+BC2

=2

26

，
∴PQ=2

26

；

（3）如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM．

∵F是BC边的中点，∴S_△ABF=S_△ACF．
∴BR=CS，
由（2）已证∠CAQ=90°，AC=AQ，
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ，∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠2=∠4，
∴△AMQ≌△CSA，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°，
∴∠ADB=∠ARB=90°，∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
且∠DBR+∠DAR=180°，
∴∠5=∠8，∠6=∠7，
∵∠DAM+∠DAR=180°，
∴∠DBR=∠DAM
∴△DBR≌△DAM，
∴∠5=∠9，
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，又AB是半圆O₁直径，
∴PA是半圆O₁的切线．

点评：综合考查了圆与全等的有关知识；利用中位线定理及构造三角形全等，利用全等的性质解决相关问题是解决本题的关键．