Question

（2013•平凉）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x²+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，可先求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积．

解答：解：①∵函数的图象与x轴相交于O，
∴0=k+1，
∴k=-1，
∴y=x²-3x，

②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，
∵△AOB的面积等于6，
∴

1

2

AO•BD=6，
当0=x²-3x，
x（x-3）=0，
解得：x=0或3，
∴AO=3，
∴BD=4
 即4=x²-3x，
 解得：x=4或x=-1（舍去）．
又∵顶点坐标为：（ 1.5，-2.25）．
∵2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为：（4，4）；

③∵点B的坐标为：（4，4），
∴∠BOD=45°，BO=

42+42

=4

2

，
当∠POB=90°，
∴∠POD=45°，
设P点横坐标为：x，则纵坐标为：x²-3x，
即-x=x²-3x，
解得x=2 或x=0，
∴在抛物线上仅存在一点P （2，-2）．
∴OP=

22+22

=2

2

，
使∠POB=90°，
∴△POB的面积为：

1

2

PO•BO=

1

2

×4

2

×2

2

=8．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点、图象面积求法等知识．利用已知进行分类讨论得出符合要求点的坐标是解题关键．