Question

5．如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．若双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点D，则k=-$\frac{48}{25}$．

Answer 1

分析 过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=m，那么CE=3-m，DE=m，利用勾股定理即可求出m，然后利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了点D的坐标，进而得出k的值．

解答 解：如图，过D作DF⊥AO于F，
∵点B的坐标为（1，3），
∴AO=1，AB=3，
根据折叠可知：CD=OA，
∵∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，
∴△CDE≌△AOE，
∴OE=DE，OA=CD=1，
设OE=m，那么CE=3-m，DE=m，
∴在Rt△DCE中，CE²=DE²+CD²，
∴（3-m）²=m²+1²，
解得m=$\frac{4}{3}$，
∵DF⊥AF，
∴DF∥EO，
∴△AEO∽△ADF．
∵AD=AB=3，
∴AE=CE=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{EO}{DF}$=$\frac{AO}{AF}$，即$\frac{\frac{5}{3}}{3}$=$\frac{\frac{4}{3}}{DF}$=$\frac{AO}{AF}$，
∴DF=$\frac{12}{5}$，AF=$\frac{9}{5}$，
∴OF=$\frac{9}{5}$-1=$\frac{4}{5}$，
∴D的坐标为（-$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．
∵双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点D，
∴k=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{12}{5}$=-$\frac{48}{25}$．
故答案为：-$\frac{48}{25}$．

点评 此题考查的是翻折变换，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．