Question

6．如图，正方形ABCD，Q为CD边上一动点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AQ交BC于N．过N作NP⊥BD于P，连接NQ、MC，下列结论：
①AM=MC；②BN+DM=PM；③∠DAQ+∠MNC=90°；④BN+DQ=NQ；⑤$\frac{AB+BN}{BM}$为定值，其中正确的有（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 ①正确．利用对称性即可解决问题．
②错误．应该是PM=PB+DM．只要证明△AMH≌△MNP即可．
③正确．只要证明MN=NC，得到∠MNC=∠MCN，由∠DAQ=∠DCM即可解决问题．
④正确．将△ADQ绕点A顺时针旋转90度至△ABR，使AD和AB重合，在连接AN，可得三角形AQN≌ANR，得NR=NQ，由此即可解决问题．
⑤正确．作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，由△AMS≌△NMW，得AS=NW，得AB+BN=SB+BW=2BW，由此即可解决问题．

解答 解：：∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于BD对称，
∴MA=MC．故①正确．
作AU⊥NQ于U，连接AN，AC，
∵∠AMN=∠ABC=90°，
∴A，B，N，M四点共圆，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴由等角对等边知，AM=MN，
由同角的余角相等知，∠HAM=∠PMN，
∴Rt△AHM≌Rt△MPN
∴MP=AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BD，
∴PM=DM+PB，故②错误，
∵MN=MC，
∴∠MNC=∠MCN，易知∠DAM=∠DCM，
∵∠MCN+∠DCM=90°，
∴∠DAQ+∠MNC=90°，故③正确，
∵∠BAN+∠QAD=∠NAQ=45°，
∴将△ADQ绕点A顺时针旋转90度至△ABR，使AD和AB重合，在连接AN，证明三角形AQN≌ANR，得NR=NQ
则BN=NU，DQ=UQ，
∴点U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ，故④正确．
如图，作MS⊥AB，垂足为S，作MW⊥BC，垂足为W，点M是对角线BD上的点，
∴四边形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW，
∴△AMS≌△NMW，
∴AS=NW，
∴AB+BN=SB+BW=2BW，
∵BW：BM=1：$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB+BN}{BM}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，故⑤正确．
故①③④⑤正确，
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质，四点共圆的判定，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．