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    （2012•朝阳二模）如图，抛物线y=
    12
    x2+mx+n过原点O，与x轴交于A，点D（4，2）在该抛物线上，过点D作CD∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点B，连接CO、AD．
    （1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
    （2）将△BCO绕点O按顺时针旋转90°后 再沿x轴对折得到△OEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
    （3）设过点E的直线交OA于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形AOCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）将O（0，0），D（4，2）两点坐标代入抛物线y=
    1
    2
    x2+mx+n，列方程组求m、n的值，确定抛物线解析式，由CD∥x轴，将y=2代入抛物线解析式，可求C点坐标；
    （2）由旋转、轴对称的性质，求EF，OF，确定E点坐标，把E点横坐标代入抛物线解析式求y的值，判断E点中抛物线上；
    （3）设P（a，0），S梯形CQPO=S1，S梯形ADQP=S2，根据直线PQ分梯形AOCD的面积为1：3两部分，分两种情况：①S1：S2=1：3，②S1：S2=3：1，根据S1与的S梯形AOCD关系，列方程求a的值．
    解答：解：（1）依题意，得
    n=0
    8+4m+n=2
    ，解得
    m=-
    3
    2
    n=0
    ，
    所以，抛物线解析式为y=
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x，把y=2代入，得x1=4，x2=-1，
    所以，C（-1，2）；

    （2）点E落在抛物线上．理由如下：
    ∵BC=1，OB=2，∠OBC=90°，
    由旋转、轴对称的性质知：EF=1，OF=2，∠OFE=90°，
    ∴点E点的坐标为（2，-1），
    当x=2时，y=
    1
    2
    ×4-
    3
    2
    ×2=-1    ，∴点E落在抛物线上；

    （3）存在点P（a，0）．如图记S梯形CQPO=S1，S梯形ADQP=S2，
    S梯形AOCD=
    1
    2
    （AO+CD）×2=3+5=8，
    当PQ经过点F（2，0）时，易求S1=5，S2=3，此时S1：S2不符合条件，故a≠3．
    设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），将E（2，-1），P（a，0）代入，
    得
    2k+b=-1
    ak+b=0
    ，解得
    k=
    1
    a-2
    b=-
    a
    a-2
    ，
    ∴y=
    1
    a-2
    x-
    a
    a-2
    ，
    由y=2得x=3a-4，∴Q（3a-4，2）
    ∴CQ=（3a-4）-（-1）=3a-3，PO=a，
    S1=
    1
    2
    （3a-3+a）×2=4a-3，
    下面分两种情形：①当S1：S2=1：3时，S1=
    1
    4
    S梯形AOCD=
    1
    4
    ×8=2；
    ∴4a-3=2，解得a=
    5
    4
    ；
    ②当S1：S2=3：1时，S1=
    3
    4
    S梯形AOCD=
    3
    4
    ×8=6；
    ∴4a-3=6，解得a=
    9
    4
    ；
    综上所述：所求点P的坐标为（
    5
    4
    ，0）或（
    9
    4
    ，0）．
    点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求抛物线解析式，确定A、B、C、D的坐标，再根据旋转的性质确定E点坐标，通过求直线PQ解析式确定Q点坐标，从而表示直线PQ分得两部分的面积，利用列方程的方法求解．
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