Question

11．如图，AB为⊙O的直径，弦AC=3，∠ABC=30°，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求BC、AD的长；
（2）求图中两阴影部分的面积和．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，然后由弦AC=3，∠B=30°，根据勾股定理求出BC，根据圆周角定理求出AD=BD，求出AD即可；
（2）根据三角形的面积公式，求出△AOC和△AOD的面积，再求出S_扇形COD，即可求出答案．

解答 解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=3，
∴AB=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB$=3$\sqrt{2}$；
（2）连接OC，OD，
∵∠B=30°，
∴∠AOC=2∠B=60°，
∵OA=OB，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9}{4}\sqrt{3}$，
由（1）得∠AOD=90°，
∴∠COD=150°，
S_△AOD=$\frac{1}{2}$×AO×OD=$\frac{1}{2}$×3²=$\frac{9}{2}$，
∴S_阴影=S_扇形COD-S_△AOC-S_△AOD=$\frac{150π×{3}^{2}}{360}$-$\frac{9}{4}\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{15}{4}π-\frac{9}{4}\sqrt{3}-\frac{9}{2}$．

点评 此题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形的面积计算公式，熟练掌握定理及扇形的面积计算公式是解本题的关键．