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    20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是②③（写出所有正确说法的序号）
    ①方程x2-x-2=0是倍根方程．
    ②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；
    ③若点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；
    ④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为$\frac{5}{4}$．

    分析 ①解方程x2-x-2=0得：x1=2，x2=-1，得到方程x2-x-2=0不是倍根方程，故①错误；②由（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-$\frac{n}{m}$，得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，∴m+n=0或4m+n=0于是得到4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=-$\frac{1}{p}$，x2=-$\frac{2}{p}$，故∴③正确；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴
    得到抛物线的对称轴x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{1+t+4-t}{2}$=$\frac{5}{2}$，于是求出x1=$\frac{5}{3}$，故④错误．

    解答 解：①解方程x2-x-2=0得：x1=2，x2=-1，
    ∴方程x2-x-2=0不是倍根方程，故①错误；
    ②∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-$\frac{n}{m}$，
    ∴$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，
    ∴m+n=0，4m+n=0，
    ∵4m2+5mn+n2=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；
    ③∵点（p，q）在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
    ∴pq=2，
    解方程px2+3x+q=0得：x1=-$\frac{1}{p}$，x2=-$\frac{2}{p}$，
    ∴x2=2x1，故③正确；
    ④∵方程ax2+bx+c=0是倍根方程，
    ∴设x1=2x2，
    ∵相异两点M（1+t，s），N（4-t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，
    ∴抛物线的对称轴x=$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=$\frac{1+t+4-t}{2}$=$\frac{5}{2}$，
    ∴x1+x2=5，
    ∴x2+2x2=5，
    ∴x2=$\frac{5}{3}$，故④错误．
    故答案为：②③．

    点评 本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．

    练习册系列答案
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