Question

已知如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB=2AD．
（1）求证：BD=EF；
（2）试判断EF与BD的位置关系．

Answer 1

（1）证明：如图，连接DE．
∵AB=2AD，E是AB的中点，
∴AD=AE，
又∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE=AE=BE，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ADB=90°，又∠A=60°，
∴∠ABD=90°-60°=30°，
∴AB=2AD，
∴BD=AD，
∵DF∥AE，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴BD=EF；

（2）解：EF与BD互相垂直平分．理由如下：
连结BF，如图，
∵平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，
∴DF∥BE，DF∥BE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
根据（1）中的结论，
∵四边形AEFD是平行四边形，△ABD是直角三角形，
∴AD⊥DB，而E点为AB的中点，
∴DE=BE，
∴四边形BEDF为菱形，
∴EF与BD互相垂直平分．
分析：（1）由已知不难发现：EF=AD，故要证明结论，只需证明△ADB是直角三角形即可．
（2）结合第（1）小题的结论，不难发现它们的位置关系是垂直平分的．
点评：特别注意等边三角形的判定：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．直角三角形的判定：三角形一边上的中线等于这条边的一半，则该三角形是直角三角形．