练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=12
    		3
    cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以2
    		3
    cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动．如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s．
    （1）求∠OAB的度数．
    （2）以OB为直径的⊙O′与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？
    （3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值．
    （4）是否存在△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在请说明理由．
    分析：（1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的长，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度数；
    （2）连接O′M，当PM与⊙O′相切时，PM、PO同为⊙O′的切线，易证得△OO′P≌△MO′P，则∠OO′P=∠MO′P；在（1）中易得∠OBA=60°，即△O′BM是等边三角形，由此可得到∠BO′M=∠PO′M=∠PO′O=60°；在Rt△OPO′中，根据∠PO′O的度数及OO′的长即可求得OP的长，已知了P点的运动速度，即可根据时间=路程÷速度求得t的值；
    （3）过Q作QE⊥x轴于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的长，进而根据∠OAB的度数表示出QE、AE的长，由S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ即可求得S、t的函数关系式；根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最小值及对应的t的值；
    （4）由于△APQ的腰和底不确定，需分类讨论：
    ①AP=AQ，可分别用t表示出两条线段的长，然后根据它们的等量关系求出此时t的值；
    ②PQ=AQ，过点Q作QD⊥x轴于D，根据等腰三角形三线合一的性质知：PA=2AD；可分别用t表示出PA、AD的长，然后根据它们的等量关系列方程求解；
    ③AP=PQ，过点Q做QH⊥AQ于H，方法同②．
    解答：精英家教网解：（1）在Rt△AOB中：
    tan∠OAB=
    OB
    OA
    =
    12
    12
    		3
    =
    		3
    3
    ，
    ∴∠OAB=30°．

    （2）如图，连接O′P，O′M．
    当PM与⊙O′相切时，有：
    ∠PMO′=∠POO′=90°，
    △PMO′≌△POO′．
    由（1）知∠OBA=60°，
    ∵O′M=O′B，
    ∴△O′BM是等边三角形，
    ∴∠BO′M=60°．
    可得∠OO′P=∠MO′P=60°．
    ∴OP=OO′•tan∠OO′P
    =6×tan60°=6
    		3
    ．
    又∵OP=2
    		3
    t，
    ∴2
    		3
    t=6
    		3
    ，t=3．
    即：t=3时，PM与⊙O‘相切．

    （3）如图，过点Q作QE⊥x于点E．
    ∵∠BAO=30°，AQ=4t，
    ∴QE=
    1
    2
    AQ=2t，
    AE=AQ•cos∠OAB=4t×
    		3
    2
    =2
    		3
    t    ．
    ∴OE=OA-AE=12
    		3
    -2
    		3
    t．
    ∴Q点的坐标为（12
    		3
    -2
    		3
    t，2t），
    S△PQR=S△OAB-S△OPR-S△APQ-S△BRQ
    =
    1
    2
    •12•12
    		3
    -
    1
    2
    •2
    		3
    t•(12-2t)-
    1
    2
    (12
    		3
    -2
    		3
    t)•2t-
    1
    2
    •2t(12
    		3
    -2
    		3
    t)
    =6
    		3
    t2-36
    		3
    t+72
    		3

    =6
    		3
    (t-3)2+18
    		3
    ． （0＜t＜6）
    当t=3时，S△PQR最小=18
    		3
    ；

    （4）分三种情况：如图
    ①当AP=AQ1=4t时，
    ∵OP+AP=12
    		3
    ，精英家教网
    ∴2
    		3
    t+4t=12
    		3
    ．
    ∴t=
    6
    		3
    		3
    +2
    ，
    或化简为t=12
    		3
    -18；
    ②当PQ2=AQ2=4t时，
    过Q2点作Q2E⊥x轴于点E．
    ∴PA=2AE=2AQ2•cosA=4
    		3
    t，
    即2
    		3
    t+4
    		3
    t=12
    		3
    ，
    ∴t=2；
    ③当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H．
    AH=PA•cos30°=（12
    		3
    -2
    		3
    t）•
    		3
    2
    =18-3t，
    AQ3=2AH=36-6t，
    得36-6t=4t，
    ∴t=3.6．
    综上所述，当t=2或t=3.6或t=12
    		3
    -18时，△APQ是等腰三角形．
    点评：此题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、二次函数的应用以及等腰三角形的判定和性质等知识，需注意的是（4）题在不确定等腰三角形腰和底的情况下，要充分考虑到各种可能的情况，以免漏解．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角坐标系中，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，其中x1，x2是方程x2-10x+16=0的两个根，且x1＜x2，连接MC，过A、B、C三点的抛物线的顶点为N．
    （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
    （2）判断直线NA与⊙M的位置关系，并说明理由；
    （3）一动点P从点C出发，以每秒1个单位长的速度沿CM向点M运动，同时，一动点Q从点B出发，沿射线BA以每秒4个单位长度的速度运动，当P运动到M点时，两动点同时停止运动，当时间t为何值时，以Q、O、C为顶点的三角形与△PCO相似？

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图：在直角坐标系中放入一边长OC为6的矩形纸片ABCO，将纸翻折后，使点B恰好落在x轴上，记为B'，折痕为CE，已知tan∠OB′C=
    3
    4
    ．
    （1）求出B′点的坐标；
    （2）求折痕CE所在直线的解析式；
    （3）作B′G∥AB交CE于G，已知抛物线y=
    1
    8
    x2-
    14
    3
    通过G点，以O为圆心OG的长为精英家教网半径的圆与抛物线是否还有除G点以外的交点？若有，请找出这个交点坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已如：如图，在直角坐标系中，以y轴上的点C为圆心，2为半径的圆与x轴相切于原点O，AB为⊙C的直径，PA切⊙O于点A，交x轴的负半轴于点P，连接PC交OA于点D．
    （1）求证：PC⊥OA；
    （2）若点P在x轴的负半轴上运动，原题的其他条件不变，设点P的坐标为（x，0），四边形
    POCA的面积为S，求S与点P的横坐标x之间的函数关系式；
    （3）在（2）的情况下，分析并判断是否存在这样的一点P，使S四边形POCA=S△AOB，若存在，直接写出点P的坐标（不写过程）；若不存在，简要说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图：在直角坐标系中描出A（-4，-4），B（1，-4），C（2，-1），D（-3，-1）四个点．
    （1）顺次连接A，B，C，D四个点组成的图形是什么图形？
    （2）画出（1）中图形分别向上5个单位向右3个单位后的图形．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在直角坐标系中，A的坐标为（a，0），D的坐标为（0，b），且a、b满足
    		a+2
    +(b-4)2=0
    （1）求A、D两点的坐标；
    （2）以A为直角顶点作等腰直角三角形△ADB，直接写出B的坐标；
    （3）在（2）的条件下，当点B在第四象限时，将△ADB沿直线BD翻折得到△A′DB，点P为线段BD上一动点（不与B、D重合），PM⊥PA交A′B于M，且PM=PA，MN⊥PB于N，请探究：PD、PN、BN之间的数量关系．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案