Question

8． 已知y关于x的二次函数y=x2+2mx-3m2（m≠0）的图象的顶点为A，与x轴交于点B，C，与y轴交于点D．
（1）当m=1时，点A的坐标为（-1，-4），点D的坐标为（0，-3）；（请直接写出答案）
（2）如图，在（1）的条件下，若点N是y轴上一点，当△ABN是直角三角形时，请求出点N的坐标；
（3）△ABC是否为等边三角形？若能，请直接写出m的值；若不能，请简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）将m=1代入可得到抛物线的解析式，然后利用配方法求得点A的坐标，将x=0代入可求得点D的纵坐标；
（2）分为∠ABN=90°，∠BAN=90°，∠ANB=90°三种情况求解即可；
（3）先利用配方法求得点A的坐标，然后令y=0可求得点B、C的坐标，然后利用等边三角形的性质求解即可．

解答 解：（1）当m=1，y=x²+2x-3，
当x=0时，y=-3．
∴D（0，-3）．
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴A（-1，-4）．
故答案为：（-1，-4）；（0，-3）．
（2）如图所示：

令x²+2x-3=0，解得：x=-3或x=1，
∴B（-3，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{-k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=-6．
∴直线AB的解析式为y=-2x-6．
①当∠ABN=90°．设直线BN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+c，将点B的坐标代入得：-3×$\frac{1}{2}$+c=0，解得：c=$\frac{3}{2}$．
∴点N的坐标为（0，$\frac{3}{2}$）．
②当∠BAN″=90°时，设直线BN″的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+d，将点A的坐标代入得：-1×$\frac{1}{2}$+d=-4，解得：d=-$\frac{7}{2}$．
∴点N″的坐标为（0，-$\frac{7}{2}$）．
③∠BN′A=90°时，过点A作AE⊥y轴，则OB=3，OE=4，AE=1．
∵∠BN′O+∠N′BO=90°，∠AN′E+∠BN′O=90°，
∴∠N′BO=∠AN′E．
又∵∠BON′=∠AEN′=90°，
∴△BON′∽△N′EA．
∴$\frac{ON′}{AE}=\frac{OB}{N′E}$．
设ON′=x，则N′E=4-x．则$\frac{x}{1}=\frac{3}{4-x}$，解得：x=1或x=3．
所以ON′=1或ON′=3．
∴点N′为（0，-1）或（0，-3）．
综上所述，点N的坐标为（0，$\frac{3}{2}$）或（0，-1）或（0，-3）或（0，-$\frac{7}{2}$）．
（3）y=x²+2mx-3m²=（x+m）²-4m²=（x+3m）（x-m）
∴抛物线与两坐标轴的交点坐标为（-3m，0）和（m，0），点A的坐标为（-m，-4m²）．
∵△ABC为等边三角形，
∴$\frac{4{m}^{2}}{|2m|}$=$\sqrt{3}$．
当m＞0时，2m=$\sqrt{3}$，解得m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当m＜0时，-2m=$\sqrt{3}$，解得m=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
综上所述，当m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，△ABC为等边三角形．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的性质和判定、等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．