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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=60°，BC=12cm，DC=16cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为y cm2．
    （1）求AD的长及t的取值范围；
    （2）求y关于t的函数关系式；
    （3）是否存在这样的t，使得△PQB的面积为
    9
    		3
    2
    ．
    分析：（1）过D作DE⊥BC于E点，如图所示，把梯形的问题转化为矩形和直角三角形的问题，结合题目的已知条件，利用勾股定理即可求出CE，然后也可以求出AD的长度，接着就可以求出点P从出发到点C和点Q从出发到点C所需时间，也就求出了t的取值范围；
    （2）首先通过计算确定P的位置在点P在DC边上，过点P作PM⊥BC于M，如图所示，由此得到PM∥DE，然后利用平行线分线段成比例可以用t表示PM，再利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；
    （3）利用函数关系式结合t的取值范围把△PQB的面积为
    9
    		3
    2
    代入函数的解析式，即可求出t的值．
    解答：解：（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、∠B=90°过D作DE⊥BC于E点，如图所示
    ∴AB∥DE，
    ∴四边形ABED为矩形，
    ∵∠C=60°，DC=16cm，
    ∴DE=sin60°•16=
    		3
    2
    ×16=8
    		3
    ，
    在Rt△DEC中，DE=8
    		3
    cm，DC=16cm
    ∴EC=8cm，
    ∴AD=BE=BC-EC=12-8=4cm，
    点P从出发到点C共需
    16+4
    2
    =10（秒），
    点Q从出发到点C共需
    12
    1
    =12秒，
    又∵t≥0，
    ∴0≤t≤10；

    （2）当0≤t≤2时，
    y=
    1
    2
    × 8
    		3
    •BQ    =
    1
    2
    × 8
    		3
    ×    t=4
    		3
    t，
    当2＜t≤10时，
    点P在DC边上
    ∴PC=20-2t
    过点P作PM⊥BC于M，如图所示
    ∴PM∥DE
    ∴
    PC
    DC
    =
    PM
    DE
    即
    20-2t
    16
    =
    PM
    8
    		3
    ，
    ∴PM=10
    		3
    -
    		3
    t，
    又∵BQ=t，
    ∴y=
    1
    2
    BQ•PM
    =
    1
    2
    t•（10
    		3
    -
    		3
    t）
    =5
    		3
    t-
    		3
    2
    t 2    ；

    （3）当0≤t≤2时，
    由4
    		3
    t=
    9
    		3
    2
    得t=
    9
    8
    ；
    当2＜t≤10时，
    由5
    		3
    t-
    		3
    2
    t 2    =
    9
    		3
    2
    得t=9或t=1（舍去）
    所以当t=
    9
    8
    或t=9时，△PQB的面积为
    9
    		3
    2
    ．
    点评：此题比较复杂，考查了梯形的性质、直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理及三角形的面积公式等知识，也以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识，具有很强的综合性．
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