Question

如图，在直角坐标平面内，四边形OABC是等腰梯形，其中OA=AB=BC=4，tan∠BCO=

3

．
（1）求经过O、B、C三点的二次函数解析式；
（2）若点P在第四象限，且△POC∽△AOB相似，求满足条件的所有点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，若⊙P与以OC为直径的⊙D相切，请直接写出⊙P的半径．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先根据三角函数求得C点的坐标，然后应用待定系数法即可求得解析式；
（2）有两种情况：当PO=PC时，根据三角函数求得∠AOC=∠BCO=60°，根据等腰梯形的性质求得∠AOB=∠ABO=30°，然后根据三角形相似，即可求得∠POC=∠PCO=30°，因为OD=4，根据三角函数即可求得PD的长，进而求得P点坐标；当PC=OC时，通过三角形相似求得∠OPC=∠COP=30°，因为OC=PC=8，得出∠PCD=60°，进而得出PD=4

3

，CD=4，即可求得P的坐标．
（3）如图①⊙P的半径就是PD+OD的长，如图②根据P的坐标先求得OP的长，再通过解三角函数求得OM、QM的值，然后根据勾股定理即可求得．

解答：解：（1）∵四边形OABC是等腰梯形，其中OA=AB=BC=4，tan∠BCO=

3

，
∴O（0，0），B（6，2

3

），C（8，0），
设经过O、B、C三点的二次函数解析式为：y=ax²+bx+c，则

c=0 36a+6b+c=2 3 64a+8b+c=0

，
解得

a=- 3 6 b= 4 3 3 c=0

．
∴过O、B、C三点的二次函数解析式为：y=-

3

6

x²+

4 3

3

x；

（2）有两种情况，
如图1，当PO=PC时，
∵tan∠BCO=

3

，
∴∠AOC=∠BCO=60°，
∠OAB=120°，
∵OA=AB=4，
∴∠AOB=∠ABO=30°，
∵△POC∽△AOB，OA=AB，PO=PC，
∴∠POC=∠PCO=30°
∴P（4，-

4 3

3

），
如图2，当PC=OC时，
∵△POC∽△AOB，OA=OB，CO=PC，
∴∠OPC=∠COP=30°，
∵OC=PC=8，
∴∠PCD=60°，
∴PD=4

3

，CD=4，
∴P（12，-4

3

）


（3）⊙P的半径是4+

4 3

3

或4

7

-4；
如图①，∵PD=

4 3

3

，
∴⊙P的半径为4+

4 3

3

或4-

4 3

3

．
如图②，作QM⊥OP，∵∠POC=30°，
∴QM=

1

2

OQ=

1

4

OC=2，OM=2

3

，
∵P（12，-4

3

），
∴OP=8

3

，
∴PM=OP-OM=6

3

，
∴PQ=

PM2+QM2

=4

7

，
∴⊙P的半径为4

7

-4或4

7

+4．
综上，⊙P的半径为4+

4 3

3

或4-

4 3

3

或4

7

-4或4

7

+4．

点评：本题考查了解直角三角函数值，待定系数法求解析式，数形结合求点的坐标以及圆的内切和外切的性质等．