Question

阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，易证△ABP∽△PCD，从而得到BP•PC=AB•CD，解答下列问题．
（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：BP•PC=AB•CD；
（2）拓展应用：如图3，在四边形ABCD中，AB=4，BC=10，CD=6，∠B=∠C=60°，AO⊥BC于点O，以O为顶点，以BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，点P为线段OC上一动点（不与端点O、C重合）
（i）当∠APD=60°时，求点P的坐标；
（ii）过点P作PE⊥PD，交y轴于点E，设PO=x，OE=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）本题要通过证△ABP和△PCD相似来解．已知∠B=∠APD=∠C，那么可得出它们的补角都相等，进而可求出∠BAP=∠DPC，∠BPA=∠PDC．由此可证得两三角形相似，即可得出所求的结论．
（2）①当∠APD=60°，符合了（1）题的条件，因此（1）的结论在本题适用，可据此求出BP的长，然后在直角三角形ABO中求出OB的长，由此可得出P点的坐标．
②本题要通过相似三角形进行求解．过D作DM⊥BC于M，可分两种情况进行讨论：
（一）：当P在OM上时，PM=OM-OP=5-x，可证△OPE∽△MDP，从而得出y与x的函数关系式；
（二）：当P在CM上时，PM=OP-OM=x-5，同样可证△OPE∽△MDP，从而得出y与x的函数关系式．

解答：（1）证明：∵∠B=∠C=∠APD，
∴∠BAP+∠BPA=∠BPA+∠DPC=180°-∠B=180°-∠APD，
∴∠BAP=∠DPC，
∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD，
∴BP：CD=AB：PC，
∴BP•PC=AB•CD．

（2）解：①∵∠B=∠C=∠APD=60°，
由（1）知，BP•PC=AB•CD．
∵AB=4，BC=10，CD=6，
设BP=x，则PC=BC-BP=10-x，
∴x（10-x）=4×6，
整理，得x²-10x+24=0，
解得x=4或6，
即BP=4或6．
在直角△AOP中，∠AOP=90°，∠B=60°，
∴BO=AB•cos60°=2，
∴OP=BP-BO=2或4．
∴点P的坐标为（2，0）或（4，0）；
②过点D作DM⊥BC，则CM=3，DM=3

3

，
∴OM=BC-BO-CM=10-2-3=5．
第一种情况：当点P在线段OM上，
∵∠POE=∠DMP=90°，∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM，
∴△OPE∽△MDP，
∴OP：DM=OE：PM，
∴x：3

3

=y：（5-x），
∴y=-

3

9

x²+

5 3

9

x（0＜x≤5）；
第二种情况：当点P在线段CM上，
∵∠POE=∠DMP=90°，∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM，
∴△OPE∽△MDP，
∴OP：DM=OE：PM，
∴x：3

3

=y：（x-5），
∴y=

3

9

x²-

5 3

9

x（5＜x＜8）．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质和判定等知识点，根据相似三角形的对应边成比例得出与所求相关的比例线段是解题的关键．