阅读理解:
如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:
(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;
拓展探究:
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.
解:(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点。理由如下:
∵∠A=55°,∴∠ADE+∠DEA=125°。
∵∠DEC=55°,∴∠BEC+∠DEA=125°。
∴∠ADE=∠BEC。
∵∠A=∠B,∴△ADE∽△BEC。
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点。
(2)作图如下:
(3)∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,
∴△AEM∽△BCE∽△ECM。∴∠BCE=∠ECM=∠AEM。
由折叠可知:△ECM≌△DCM,∴∠ECM=∠DCM,CE=CD。
∴∠BCE=∠BCD=30°。∴BE=CE=AB。
在Rt△BCE中,,
∴,∴。
【解析】
试题分析:(1)要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点,只要证明有一组三角形相似就行,很容易证明△ADE∽△BEC,所以问题得解。
(2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可。
(3)因为点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点,所以就有相似三角形出现,根据相似三角形的对应线段成比例,可以判断出AE和BE的数量关系,从而可求出解。
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