Question

7．如图，边长为a的正六边形中，连接一些顶点，中间围成一个新的小正六边形（阴影部分），则$\frac{{l}_{外部正六边形}}{{l}_{阴影}}$（l为周长）等于（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 作PH⊥AB于H，根据正六边形的性质求出PA，根据多边形的周长公式计算即可．

解答 解：作PH⊥AB于H，
∵六边形是边长为a的正六边形，
∴外部正六边形的周长为6a，
∵六边形是正六边形，
∴∠PAB=30°，
∴PA=$\frac{AH}{cos∠PAH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
由题意得，阴影部分是正六边形，
∴阴影周长为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a×6=2$\sqrt{3}$a，
则$\frac{{l}_{外部正六边形}}{{l}_{阴影}}$=$\frac{6a}{2\sqrt{3}a}$=$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题正多边形和圆，掌握正多边形的概念和性质、锐角三角函数的定义是解题的关键．