Question

如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，过点I作DE∥AC分别交AB、BC于点D、E．

(1)试猜想线段AD、CE、DE之间的数量关系？并给予证明．

(2)若AD－CE＝1，AD·CE＝，求DE的长．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)观察图形容易知道DE＝DI＋EI，通过证明可以发现AD＝DI，EI＝CE，由此可以猜想线段AD、CE、DE之间的数量关系为：DE＝AD＋CE． 　　证明：因为IA平分∠BAC，所以∠DAI＝∠IAC．又DE∥AC，所以∠DIA＝∠IAC．所以∠DAI＝∠DIA．所以DI＝DA． 　　同理IE＝CE．所以DE＝DI＋EI＝AD＋CE． 　　(2)由(1)可知DE2＝(AD＋CE)2＝(AD－CE)2＋4AD·CE＝1＋4×＝1＋(2006＋1)(2006－1)＝20062．所以DE＝2006． 　　点评：本题巧妙地借助等腰三角形△DAI、△ECI将线段AD转化为相等的线段DI，将CE转化为相等的线段EI，为猜想线段AD、CE、DE之间的数量关系起到牵线搭桥的关键作用．