(1)观察发现．如图6124(1):若点A.B在直线m的同侧.在直线m上找一点P.使AP+BP的值最小.做法如下:作点B关于直线m的对称点B′.连接AB′.与直线m的交点就是所求的点P.线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图6124(2):在等边三角形ABC中.AB＝2.点E是AB的中点.AD是高.在AD上找一点P.使BP+PE的值最小.做� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

(1)观察发现．

如图6124(1)：若点A，B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP＋BP的最小值．

如图6124(2)：在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点．则这就是所求的点P，故BP＋PE的最小值为__________________．

图6124

(2)实践运用．

如图6124(3)：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，则BP＋AP的最小值为________________．

(3)拓展延伸．

如图6124(4)：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB，BC上作出点M，N，使PM＋PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

解：(1)

(2)　解析：如图39，作B点关于CD的对称点E，连接AE，交CD于点P，连接OA，OB，OE，PA，PB，∵的度数为60°，且点B是的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝30°.∵点B与点E关于CD对称，∴∠COE＝∠BOC＝30°.∴∠AOE＝3×30°＝90°.∵⊙O的直径CD为2，∴OA＝OE＝1.在Rt△AOE中，AE＝＝＝.∴BP＋AP＝EP＋AP＝AE＝.

(3)如图40.

图39 　　　图40

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